diff --git a/QuaternionDual/QuaternionDual.tex b/QuaternionDual/QuaternionDual.tex
new file mode 100644
index 0000000..7c53fd0
--- /dev/null
+++ b/QuaternionDual/QuaternionDual.tex
@@ -0,0 +1,178 @@
+\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article}% Document de type "article".
+\usepackage[T1]{fontenc}                 % Format de sortie.
+\usepackage[utf8]{inputenc}              % Pour écrire en UTF-8.
+\usepackage[official]{eurosym}           % Pour la monnaie euro : \euro{}.
+\DeclareUnicodeCharacter{20AC}{\euro{}}  % Pour bien taper €.
+\usepackage[francais]{babel}             % Pour adapter en français.
+\usepackage{xcolor}                      % Pour la couleur.
+\usepackage{graphicx}                    % Pour insérer des images :
+                                         % "\includegraphics[width=\linewidth]{image.jpg}".
+%\usepackage{svg}                        % Pour les images SVG (sans subfig.) avec 
+                                         %"\includesvg[width=\linewidth]{image.svg}".
+\usepackage{caption}                     % Fonction "\caption" avancée.
+\usepackage{subcaption}                  % Pour le sous-flottants (figures et tableaux).
+\usepackage{amsmath}                     % Pour les maths.
+\usepackage{amsfonts}                    % Pour certaines polices et symboles.
+\usepackage{amssymb}                     % Symboles de maths.
+\usepackage{textcomp}                    % Contient entre autre \textdegree (°).
+\usepackage{datatool}                    % Exploitation des bases de donnée. Pour afficher :
+                                         % "\DTLloaddb[keys={1,2},headers={1,2}]{data}{data.csv}
+                                         % et \DTLdisplaydb[1,2]{data}.
+\usepackage{eso-pic}
+\usepackage{hyperref}                    % Les hyperliens.
+\hypersetup{                             % Configuration de "hyperref".
+    unicode=true,                        % Encodage Unicode.
+    backref=true,                        % Permet d'ajouter des liens dans...
+    pagebackref=true,                    % ...les bibliographies.
+    hyperindex=true,                     % Ajoute des liens dans les index.
+    colorlinks=true,                     % Colorie les liens.
+    breaklinks=true,                     % Permet le retour à la ligne pour les liens trop longs.
+    urlcolor=blue,                       % Couleur des hyperliens.
+    linkcolor=black,                     % Couleur des liens internes.
+    bookmarks=true,                      % Crée des signets pour Acrobat Reader.
+    bookmarksopen=true,                  % Si les signets Adobe Acrobat Reader sont créés,
+                                         %  les afficher complètement.
+    linktocpage=true,                    % Lier la table des matières.
+    pdftitle={Quaternion dual},          % Informations apparaissant dans les informations du
+    pdfauthor={Alnotz},                  %  document sous Acrobat Reader : titre, auteur,
+    pdfsubject={\'Etude math\'ematique}, %  sujet, mots clés, langue.
+    pdfkeywords={Quaternion,Dual,Math\'ematiques},
+    pdfproducer={Alnotz},
+    pdflang={fr-FR},
+}
+\usepackage{lastpage}                    % Juste pour avoir le total de pages par "\pageref{LastPage}"
+\usepackage{fancyhdr}                    % Pour personnaliser en-tête et pied de page.
+\pagestyle{fancy}                        % Style de page selon "fancyhdr".
+\fancyhead[LE,RO]{Alnotz}                % En-têtes.
+\fancyhead[C]{Quaternion dual}
+\fancyhead[RE,LO]{}                      % Alternative : "\fancyhead[LE,RE,CE,CO,LO,RO]{text}".
+\fancyfoot[C]{\thepage{}/\pageref{LastPage}}% Pieds de pages.
+\fancyfoot[RE,LO]{2019}                  % Alternative : "\fancyfoot[LE,RE,CE,CO,LO,RO]{text}".
+%\usepackage{minted}                      % Pour un bon bloc de code.
+                                         % Ne pas oublier la  commande
+                                         %  "pdflatex -shell-escape".
+%\usepackage{tikz}                        % TikZ et ses dessins.
+%\usetikzlibrary{shapes}                  % Bibliothèque TikZ pour les diagrammes.
+%\usetikzlibrary{patterns}                % Bibliothèque TikZ pour les remplissages en traits.
+\newcommand{\oneone}{1\!\!1}             % Opérateur identité.
+\newcommand{\gui}[1]{{\og}#1{\fg}}       % Guillemets français.
+\newcommand{\utwo}[2]{#1\ \mathrm{#2}}   % Unité physique.
+\newcommand{\sups}[1]{\textsuperscript{#1}}% Exposant.
+\newcommand{\subs}[1]{\textsubscript{#1}}% Indice.
+\def\TikZ{Ti{\color{orange}\textit{k}}Z} % Logo TikZ.
+\date{\today}                            % "\today" pour la date
+\title{Quaternion dual}                  % "\title{Un document-test}" si on veut simple.
+\author{Alnotz}                          % Auteurs.
+\setlength{\parindent}{4em}
+\setlength{\parskip}{2em}
+\begin{document}
+  \maketitle
+
+  \part{Nombre dual}
+
+  \section{Définition}
+
+  Soit $r$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{D}$ des duals de \emph{W. Clifford}.
+ Il est défini par $r = a + b \varepsilon$ avec $(a;b) \in \mathbb{R}^2$ et $\varepsilon^2 = 0$.
+ On peut aussi définir une base orthonormée $\mathcal{B}_\mathrm{d}$ avec $\mathcal{B}_\mathrm{d} = (1;\varepsilon)$.
+
+  \section{Propriétés}
+
+  \begin{itemize}
+    \item Additivité : \begin{eqnarray}
+r_1 + r_2 & = & [a_1 + b_1 \varepsilon] + [a_2 + b_2 \varepsilon] \nonumber \\
+          & = & [a_1 + a_2] +  [b_1 + b_2] \varepsilon
+\end{eqnarray} \label{eqn:math01}
+    \item Multiplicité : \begin{eqnarray}
+r_1 r_2 & = & [a_1 + b_1 \varepsilon] [a_2 + b_2 \varepsilon] \nonumber \\
+        & = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + a_2 b_1] \varepsilon + b_1 b_2 \varepsilon^2 \nonumber \\
+        & = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + a_2 b_1] \varepsilon
+\end{eqnarray} \label{eqn:math02}
+    \item Division : \begin{eqnarray}
+\frac{a_1 + b_1 \varepsilon}{a_2 + b_2 \varepsilon} & = & \frac{a_1 + b_1 \varepsilon}{a_2 + b_2 \varepsilon} \frac{a_2 - b_2 \varepsilon}{a_2 - b_2 \varepsilon} \nonumber \\
+                                                    & = & \frac{a_1 a_2 + [a_2 b_1 - a_1 b_2] \varepsilon}{{a_2}^2} \nonumber \\
+                                                    & = & \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{{a_2}^2} \varepsilon
+\end{eqnarray} \label{eqn:math03}
+    \item Dérivation avec $b \ll a$: \begin{eqnarray}
+f(a + b \varepsilon) & = & \sum_{n=0}^{n=+\infty} \frac{1}{!n} \frac{d^{(n)} f}{d a^n}(a) [b \varepsilon]^n \nonumber \\
+                     & = & f(a) + \frac{d^{(1)} f}{d a^1}(a) [b \varepsilon]^1 + \sum_{n=2}^{n=+\infty} \frac{1}{!n} \frac{d^{(n)} f}{d a^n}(a) b^n \varepsilon^n \nonumber \\
+                     & = & f(a) + \frac{d f}{d a}(a) b \varepsilon
+\end{eqnarray} \label{eqn:math04}
+  \end{itemize}
+
+  \part{Quaternion}
+
+  \section{Définition}
+
+  Soit $q$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{Q}$ des quaternions de \emph{W. R. Hamilton}.
+ Il est défini par $d = a + b i + c j + d k$ avec $(a;b;c;d) \in \mathbb{R}^4$, $i^2 = j^2 = k^2 = -1$ et $ij = k$.
+ On peut définir aussi une base orthonormée directe $\mathcal{B}_\mathrm{q}$ définie par $\mathcal{B}_\mathrm{q} = (1;i;j;k)$.
+ Cet ensemble est analogue à l'espace de \emph{Minkovski}.
+
+  \section{Propriétés}
+
+  \begin{itemize}
+
+    \item Additivité : \begin{eqnarray}
+q_1 + q_2 & = & [a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k] + [a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k] \nonumber \\
+          & = & [a_1 + a_2] + [b_1 + b_2] i + [c_1 + c_2] j + [d_1 + d_2] k
+\end{eqnarray} \label{eqn:math05}
+    \item anti-commutativité : \begin{equation}
+ij = -ji ; q_1 q_2 = -q_2 q_1
+ \end{equation} \label{eqn:math06}
+    \item Multiplicité : \begin{eqnarray}
+q_1 + q_2 & = & [a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k] + [a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k] \nonumber \\
+          & = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + b_1 a_2] i + [a_1 c_2 + c_1 a_2] j + [a_1 d_2 + d_1 a_2] k \nonumber \\
+          &   & + b_1 b_2 i^2 + c_1 c_2 j^2 + d_1 d_2 k^2 \nonumber \\
+          &   & + b_1 c_2 ij + c_1 d_2 jk + d_1 b_2 ki \nonumber \\
+          &   & + b_1 d_2 ik + c_1 b_2 ji + d_1 c_2 kj \nonumber \\
+          & = & a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2 \nonumber \\
+          &   & + [a_1 b_2 + b_1 a_2] i + [a_1 c_2 + c_1 a_2] j + [a_1 d_2 + d_1 a_2] k \nonumber \\
+          &   & + [c_1 d_2 - d_1 c_2] i + [d_1 b_2 - b_1 d_2] j + [b_1 c_2 - c_1 b_2] k \nonumber \\
+          & = & [a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2] \nonumber \\
+          &   & + [a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2] i \nonumber \\ 
+          &   & + [a_1 c_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2 - b_1 d_2] j \nonumber \\
+          &   & + [a_1 d_2 + d_1 a_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2] k \\
+          & = & a_1 a_2 - \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 + a_1 \mathbf{v}_2 + a_2 \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2
+\end{eqnarray} \label{eqn:math07}
+    \item Conjugaison : \begin{equation}
+q^* = a - \mathbf{v}\ ;\ {q^*}^* = q
+\end{equation} \label{eqn:math09}
+    \item Module : \begin{equation}
+|q| = \sqrt{ a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\ ;\ |q|^2 = qq^*
+\end{equation} \label{eqn:math10}
+    \item Argument : \begin{equation}
+\mathrm{arg}(q) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \mathbf{n}
+\end{equation} \label{eqn:math11}
+  \end{itemize}
+
+  L'\hyperref[eqn:math07]{\textbf{équation 8}} indique un autre formalisme introduisant la composante vectorielle $\mathbf{v}$ du quaternion, définie par $\mathbf{v} = a i + b j + c k$, ainsi que les opérateurs \gui{$\cdot$} et \gui{$\times$} pour les produits respectifs scalaire et vectoriel.
+ Il y a encore une analogie avec l'espace de \emph{Minkovski}.
+
+  \part{Quaternion dual}
+
+  \section{Définition}
+
+  Soit $s$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{S}$ des quaternions duals.
+ Ce nombre peut être défini par $s = q_\mathrm{r} + q_\mathrm{d} \varepsilon$ avec $q_\mathrm{r}$ un quaternion réel et $q_\mathrm{d}$ un quaternion dual.
+ On remarquera $\mathbb{S} = \mathbb{D} \cup \mathbb{Q}$.
+ Si un vecteur réel pur $\mathbf{v}_\mathrm{r}$ décrit une rotation unique, un vecteur pur $\mathbf{v}$ défini par $\mathbf{v} = \mathbf{v}_\mathrm{r} + \mathbf{v}_\mathrm{d} \varepsilon$ décrit rotation et translation uniques.
+
+On peut dissocier $\mathbf{v}$ suivant sa composante linéaire $\mathbf{t}$ (translation pure).
+\begin{equation}
+\mathbf{v} = \mathbf{v}_\mathrm{r} + \frac{1}{2} \mathbf{t} \mathbf{v}_\mathrm{r} \varepsilon
+\end{equation} \label{eqn:math12}
+
+Rotation unitaire : $s_\mathrm{r} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \mathbf{n} + 0 \varepsilon$
+
+Translation unitaire : $s_\mathrm{t} = 1 + \frac{1}{2} \mathbf{t} \varepsilon$
+
+Condition d'unité : $|s| = 1 \Leftrightarrow {s_\mathrm{r}}^* s_\mathrm{d} + {s_\mathrm{d}}^* s_\mathrm{r} = 0$
+
+Composante de translation : $\mathbf{t} = 2 s_\mathrm{d} {s_\mathrm{r}}^*$
+
+$s$ comme une rotation suivie d'une translation : $s = s_\mathrm{t} s_\mathrm{r}$
+
+Mouvement d'un état $p$ à un état $p^\prime$ par $s$ : $p^\prime = s p s^*$
+
+\end{document}