\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article}% Document de type "article".
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    pdftitle={Quaternion dual},          % Informations apparaissant dans les informations du
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\author{Alnotz}                          % Auteurs.
\setlength{\parindent}{4em}
\setlength{\parskip}{2em}
\begin{document}
  \maketitle

  \part{Nombre dual}

  \section{Définition}

  Soit $r$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{D}$ des duals de \emph{W. Clifford}.
 Il est défini par $r = a + b \varepsilon$ avec $(a;b) \in \mathbb{R}^2$ et $\varepsilon^2 = 0$.
 On peut aussi définir une base orthonormée $\mathcal{B}_\mathrm{d}$ avec $\mathcal{B}_\mathrm{d} = (1;\varepsilon)$.

  \section{Propriétés}

  \begin{itemize}
    \item Additivité : \begin{eqnarray}
r_1 + r_2 & = & [a_1 + b_1 \varepsilon] + [a_2 + b_2 \varepsilon] \nonumber \\
          & = & [a_1 + a_2] +  [b_1 + b_2] \varepsilon
\end{eqnarray} \label{eqn:math01}
    \item Multiplicité : \begin{eqnarray}
r_1 r_2 & = & [a_1 + b_1 \varepsilon] [a_2 + b_2 \varepsilon] \nonumber \\
        & = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + a_2 b_1] \varepsilon + b_1 b_2 \varepsilon^2 \nonumber \\
        & = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + a_2 b_1] \varepsilon
\end{eqnarray} \label{eqn:math02}
    \item Division : \begin{eqnarray}
\frac{a_1 + b_1 \varepsilon}{a_2 + b_2 \varepsilon} & = & \frac{a_1 + b_1 \varepsilon}{a_2 + b_2 \varepsilon} \frac{a_2 - b_2 \varepsilon}{a_2 - b_2 \varepsilon} \nonumber \\
                                                    & = & \frac{a_1 a_2 + [a_2 b_1 - a_1 b_2] \varepsilon}{{a_2}^2} \nonumber \\
                                                    & = & \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{{a_2}^2} \varepsilon
\end{eqnarray} \label{eqn:math03}
    \item Dérivation avec $b \ll a$: \begin{eqnarray}
f(a + b \varepsilon) & = & \sum_{n=0}^{n=+\infty} \frac{1}{!n} \frac{d^{(n)} f}{d a^n}(a) [b \varepsilon]^n \nonumber \\
                     & = & f(a) + \frac{d^{(1)} f}{d a^1}(a) [b \varepsilon]^1 + \sum_{n=2}^{n=+\infty} \frac{1}{!n} \frac{d^{(n)} f}{d a^n}(a) b^n \varepsilon^n \nonumber \\
                     & = & f(a) + \frac{d f}{d a}(a) b \varepsilon
\end{eqnarray} \label{eqn:math04}
  \end{itemize}

  \part{Quaternion}

  \section{Définition}

  Soit $q$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{Q}$ des quaternions de \emph{W. R. Hamilton}.
 Il est défini par $d = a + b i + c j + d k$ avec $(a;b;c;d) \in \mathbb{R}^4$, $i^2 = j^2 = k^2 = -1$ et $ij = k$.
 On peut définir aussi une base orthonormée directe $\mathcal{B}_\mathrm{q}$ définie par $\mathcal{B}_\mathrm{q} = (1;i;j;k)$.
 Cet ensemble est analogue à l'espace de \emph{Minkovski}.

  \section{Propriétés}

  \begin{itemize}

    \item Additivité : \begin{eqnarray}
q_1 + q_2 & = & [a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k] + [a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k] \nonumber \\
          & = & [a_1 + a_2] + [b_1 + b_2] i + [c_1 + c_2] j + [d_1 + d_2] k
\end{eqnarray} \label{eqn:math05}
    \item anti-commutativité : \begin{equation}
ij = -ji ; q_1 q_2 = -q_2 q_1
 \end{equation} \label{eqn:math06}
    \item Multiplicité : \begin{eqnarray}
q_1 + q_2 & = & [a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k] + [a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k] \nonumber \\
          & = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + b_1 a_2] i + [a_1 c_2 + c_1 a_2] j + [a_1 d_2 + d_1 a_2] k \nonumber \\
          &   & + b_1 b_2 i^2 + c_1 c_2 j^2 + d_1 d_2 k^2 \nonumber \\
          &   & + b_1 c_2 ij + c_1 d_2 jk + d_1 b_2 ki \nonumber \\
          &   & + b_1 d_2 ik + c_1 b_2 ji + d_1 c_2 kj \nonumber \\
          & = & a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2 \nonumber \\
          &   & + [a_1 b_2 + b_1 a_2] i + [a_1 c_2 + c_1 a_2] j + [a_1 d_2 + d_1 a_2] k \nonumber \\
          &   & + [c_1 d_2 - d_1 c_2] i + [d_1 b_2 - b_1 d_2] j + [b_1 c_2 - c_1 b_2] k \nonumber \\
          & = & [a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2] \nonumber \\
          &   & + [a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2] i \nonumber \\ 
          &   & + [a_1 c_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2 - b_1 d_2] j \nonumber \\
          &   & + [a_1 d_2 + d_1 a_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2] k \\
          & = & a_1 a_2 - \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 + a_1 \mathbf{v}_2 + a_2 \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2
\end{eqnarray} \label{eqn:math07}
    \item Conjugaison : \begin{equation}
q^* = a - \mathbf{v}\ ;\ {q^*}^* = q
\end{equation} \label{eqn:math09}
    \item Module : \begin{equation}
|q| = \sqrt{ a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\ ;\ |q|^2 = qq^*
\end{equation} \label{eqn:math10}
    \item Argument : \begin{equation}
\mathrm{arg}(q) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \mathbf{n}
\end{equation} \label{eqn:math11}
  \end{itemize}

  L'\hyperref[eqn:math07]{\textbf{équation 8}} indique un autre formalisme introduisant la composante vectorielle $\mathbf{v}$ du quaternion, définie par $\mathbf{v} = a i + b j + c k$, ainsi que les opérateurs \gui{$\cdot$} et \gui{$\times$} pour les produits respectifs scalaire et vectoriel.
 Il y a encore une analogie avec l'espace de \emph{Minkovski}.

  \part{Quaternion dual}

  \section{Définition}

  Soit $s$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{S}$ des quaternions duals.
 Ce nombre peut être défini par $s = q_\mathrm{r} + q_\mathrm{d} \varepsilon$ avec $q_\mathrm{r}$ un quaternion réel et $q_\mathrm{d}$ un quaternion dual.
 On remarquera $\mathbb{S} = \mathbb{D} \cup \mathbb{Q}$.
 Si un vecteur réel pur $\mathbf{v}_\mathrm{r}$ décrit une rotation unique, un vecteur pur $\mathbf{v}$ défini par $\mathbf{v} = \mathbf{v}_\mathrm{r} + \mathbf{v}_\mathrm{d} \varepsilon$ décrit rotation et translation uniques.

On peut dissocier $\mathbf{v}$ suivant sa composante linéaire $\mathbf{t}$ (translation pure).
\begin{equation}
\mathbf{v} = \mathbf{v}_\mathrm{r} + \frac{1}{2} \mathbf{t} \mathbf{v}_\mathrm{r} \varepsilon
\end{equation} \label{eqn:math12}

Rotation unitaire : $s_\mathrm{r} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \mathbf{n} + 0 \varepsilon$

Translation unitaire : $s_\mathrm{t} = 1 + \frac{1}{2} \mathbf{t} \varepsilon$

Condition d'unité : $|s| = 1 \Leftrightarrow {s_\mathrm{r}}^* s_\mathrm{d} + {s_\mathrm{d}}^* s_\mathrm{r} = 0$

Composante de translation : $\mathbf{t} = 2 s_\mathrm{d} {s_\mathrm{r}}^*$

$s$ comme une rotation suivie d'une translation : $s = s_\mathrm{t} s_\mathrm{r}$

Mouvement d'un état $p$ à un état $p^\prime$ par $s$ : $p^\prime = s p s^*$

\end{document}