Dual Quaterion doc. added
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\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article}% Document de type "article".
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\usepackage[T1]{fontenc} % Format de sortie.
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\usepackage[utf8]{inputenc} % Pour écrire en UTF-8.
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\usepackage[official]{eurosym} % Pour la monnaie euro : \euro{}.
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\DeclareUnicodeCharacter{20AC}{\euro{}} % Pour bien taper €.
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\usepackage[francais]{babel} % Pour adapter en français.
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\usepackage{xcolor} % Pour la couleur.
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\usepackage{graphicx} % Pour insérer des images :
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% "\includegraphics[width=\linewidth]{image.jpg}".
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%\usepackage{svg} % Pour les images SVG (sans subfig.) avec
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%"\includesvg[width=\linewidth]{image.svg}".
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\usepackage{caption} % Fonction "\caption" avancée.
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\usepackage{subcaption} % Pour le sous-flottants (figures et tableaux).
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\usepackage{amsmath} % Pour les maths.
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\usepackage{amsfonts} % Pour certaines polices et symboles.
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\usepackage{amssymb} % Symboles de maths.
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\usepackage{textcomp} % Contient entre autre \textdegree (°).
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\usepackage{datatool} % Exploitation des bases de donnée. Pour afficher :
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% "\DTLloaddb[keys={1,2},headers={1,2}]{data}{data.csv}
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% et \DTLdisplaydb[1,2]{data}.
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\usepackage{eso-pic}
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\usepackage{hyperref} % Les hyperliens.
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\hypersetup{ % Configuration de "hyperref".
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unicode=true, % Encodage Unicode.
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backref=true, % Permet d'ajouter des liens dans...
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pagebackref=true, % ...les bibliographies.
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hyperindex=true, % Ajoute des liens dans les index.
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colorlinks=true, % Colorie les liens.
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breaklinks=true, % Permet le retour à la ligne pour les liens trop longs.
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urlcolor=blue, % Couleur des hyperliens.
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linkcolor=black, % Couleur des liens internes.
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bookmarks=true, % Crée des signets pour Acrobat Reader.
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bookmarksopen=true, % Si les signets Adobe Acrobat Reader sont créés,
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% les afficher complètement.
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linktocpage=true, % Lier la table des matières.
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pdftitle={Quaternion dual}, % Informations apparaissant dans les informations du
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pdfauthor={Alnotz}, % document sous Acrobat Reader : titre, auteur,
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pdfsubject={\'Etude math\'ematique}, % sujet, mots clés, langue.
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pdfkeywords={Quaternion,Dual,Math\'ematiques},
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pdfproducer={Alnotz},
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pdflang={fr-FR},
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}
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\usepackage{lastpage} % Juste pour avoir le total de pages par "\pageref{LastPage}"
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\usepackage{fancyhdr} % Pour personnaliser en-tête et pied de page.
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\pagestyle{fancy} % Style de page selon "fancyhdr".
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\fancyhead[LE,RO]{Alnotz} % En-têtes.
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\fancyhead[C]{Quaternion dual}
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\fancyhead[RE,LO]{} % Alternative : "\fancyhead[LE,RE,CE,CO,LO,RO]{text}".
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\fancyfoot[C]{\thepage{}/\pageref{LastPage}}% Pieds de pages.
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\fancyfoot[RE,LO]{2019} % Alternative : "\fancyfoot[LE,RE,CE,CO,LO,RO]{text}".
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%\usepackage{minted} % Pour un bon bloc de code.
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% Ne pas oublier la commande
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% "pdflatex -shell-escape".
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%\usepackage{tikz} % TikZ et ses dessins.
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%\usetikzlibrary{shapes} % Bibliothèque TikZ pour les diagrammes.
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%\usetikzlibrary{patterns} % Bibliothèque TikZ pour les remplissages en traits.
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\newcommand{\oneone}{1\!\!1} % Opérateur identité.
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\newcommand{\gui}[1]{{\og}#1{\fg}} % Guillemets français.
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\newcommand{\utwo}[2]{#1\ \mathrm{#2}} % Unité physique.
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\newcommand{\sups}[1]{\textsuperscript{#1}}% Exposant.
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\newcommand{\subs}[1]{\textsubscript{#1}}% Indice.
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\def\TikZ{Ti{\color{orange}\textit{k}}Z} % Logo TikZ.
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\date{\today} % "\today" pour la date
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\title{Quaternion dual} % "\title{Un document-test}" si on veut simple.
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\author{Alnotz} % Auteurs.
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\setlength{\parindent}{4em}
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\setlength{\parskip}{2em}
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\begin{document}
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\maketitle
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\part{Nombre dual}
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\section{Définition}
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Soit $r$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{D}$ des duals de \emph{W. Clifford}.
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Il est défini par $r = a + b \varepsilon$ avec $(a;b) \in \mathbb{R}^2$ et $\varepsilon^2 = 0$.
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||||
On peut aussi définir une base orthonormée $\mathcal{B}_\mathrm{d}$ avec $\mathcal{B}_\mathrm{d} = (1;\varepsilon)$.
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\section{Propriétés}
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\begin{itemize}
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\item Additivité : \begin{eqnarray}
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r_1 + r_2 & = & [a_1 + b_1 \varepsilon] + [a_2 + b_2 \varepsilon] \nonumber \\
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||||
& = & [a_1 + a_2] + [b_1 + b_2] \varepsilon
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\end{eqnarray} \label{eqn:math01}
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||||
\item Multiplicité : \begin{eqnarray}
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||||
r_1 r_2 & = & [a_1 + b_1 \varepsilon] [a_2 + b_2 \varepsilon] \nonumber \\
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||||
& = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + a_2 b_1] \varepsilon + b_1 b_2 \varepsilon^2 \nonumber \\
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||||
& = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + a_2 b_1] \varepsilon
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\end{eqnarray} \label{eqn:math02}
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||||
\item Division : \begin{eqnarray}
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\frac{a_1 + b_1 \varepsilon}{a_2 + b_2 \varepsilon} & = & \frac{a_1 + b_1 \varepsilon}{a_2 + b_2 \varepsilon} \frac{a_2 - b_2 \varepsilon}{a_2 - b_2 \varepsilon} \nonumber \\
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||||
& = & \frac{a_1 a_2 + [a_2 b_1 - a_1 b_2] \varepsilon}{{a_2}^2} \nonumber \\
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||||
& = & \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2 b_1 - a_1 b_2}{{a_2}^2} \varepsilon
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\end{eqnarray} \label{eqn:math03}
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||||
\item Dérivation avec $b \ll a$: \begin{eqnarray}
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f(a + b \varepsilon) & = & \sum_{n=0}^{n=+\infty} \frac{1}{!n} \frac{d^{(n)} f}{d a^n}(a) [b \varepsilon]^n \nonumber \\
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||||
& = & f(a) + \frac{d^{(1)} f}{d a^1}(a) [b \varepsilon]^1 + \sum_{n=2}^{n=+\infty} \frac{1}{!n} \frac{d^{(n)} f}{d a^n}(a) b^n \varepsilon^n \nonumber \\
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||||
& = & f(a) + \frac{d f}{d a}(a) b \varepsilon
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\end{eqnarray} \label{eqn:math04}
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\end{itemize}
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\part{Quaternion}
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\section{Définition}
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||||
Soit $q$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{Q}$ des quaternions de \emph{W. R. Hamilton}.
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||||
Il est défini par $d = a + b i + c j + d k$ avec $(a;b;c;d) \in \mathbb{R}^4$, $i^2 = j^2 = k^2 = -1$ et $ij = k$.
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||||
On peut définir aussi une base orthonormée directe $\mathcal{B}_\mathrm{q}$ définie par $\mathcal{B}_\mathrm{q} = (1;i;j;k)$.
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||||
Cet ensemble est analogue à l'espace de \emph{Minkovski}.
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\section{Propriétés}
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Additivité : \begin{eqnarray}
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||||
q_1 + q_2 & = & [a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k] + [a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k] \nonumber \\
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||||
& = & [a_1 + a_2] + [b_1 + b_2] i + [c_1 + c_2] j + [d_1 + d_2] k
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\end{eqnarray} \label{eqn:math05}
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\item anti-commutativité : \begin{equation}
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ij = -ji ; q_1 q_2 = -q_2 q_1
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\end{equation} \label{eqn:math06}
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||||
\item Multiplicité : \begin{eqnarray}
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q_1 + q_2 & = & [a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k] + [a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k] \nonumber \\
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||||
& = & a_1 a_2 + [a_1 b_2 + b_1 a_2] i + [a_1 c_2 + c_1 a_2] j + [a_1 d_2 + d_1 a_2] k \nonumber \\
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||||
& & + b_1 b_2 i^2 + c_1 c_2 j^2 + d_1 d_2 k^2 \nonumber \\
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||||
& & + b_1 c_2 ij + c_1 d_2 jk + d_1 b_2 ki \nonumber \\
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||||
& & + b_1 d_2 ik + c_1 b_2 ji + d_1 c_2 kj \nonumber \\
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||||
& = & a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2 \nonumber \\
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||||
& & + [a_1 b_2 + b_1 a_2] i + [a_1 c_2 + c_1 a_2] j + [a_1 d_2 + d_1 a_2] k \nonumber \\
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||||
& & + [c_1 d_2 - d_1 c_2] i + [d_1 b_2 - b_1 d_2] j + [b_1 c_2 - c_1 b_2] k \nonumber \\
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||||
& = & [a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2] \nonumber \\
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||||
& & + [a_1 b_2 + b_1 a_2 + c_1 d_2 - d_1 c_2] i \nonumber \\
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||||
& & + [a_1 c_2 + c_1 a_2 + d_1 b_2 - b_1 d_2] j \nonumber \\
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||||
& & + [a_1 d_2 + d_1 a_2 + b_1 c_2 - c_1 b_2] k \\
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& = & a_1 a_2 - \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2 + a_1 \mathbf{v}_2 + a_2 \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2
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\end{eqnarray} \label{eqn:math07}
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\item Conjugaison : \begin{equation}
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q^* = a - \mathbf{v}\ ;\ {q^*}^* = q
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\end{equation} \label{eqn:math09}
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\item Module : \begin{equation}
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|q| = \sqrt{ a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\ ;\ |q|^2 = qq^*
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\end{equation} \label{eqn:math10}
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\item Argument : \begin{equation}
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\mathrm{arg}(q) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \mathbf{n}
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\end{equation} \label{eqn:math11}
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\end{itemize}
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L'\hyperref[eqn:math07]{\textbf{équation 8}} indique un autre formalisme introduisant la composante vectorielle $\mathbf{v}$ du quaternion, définie par $\mathbf{v} = a i + b j + c k$, ainsi que les opérateurs \gui{$\cdot$} et \gui{$\times$} pour les produits respectifs scalaire et vectoriel.
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||||
Il y a encore une analogie avec l'espace de \emph{Minkovski}.
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\part{Quaternion dual}
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\section{Définition}
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Soit $s$ un nombre de l'ensemble $\mathbb{S}$ des quaternions duals.
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Ce nombre peut être défini par $s = q_\mathrm{r} + q_\mathrm{d} \varepsilon$ avec $q_\mathrm{r}$ un quaternion réel et $q_\mathrm{d}$ un quaternion dual.
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On remarquera $\mathbb{S} = \mathbb{D} \cup \mathbb{Q}$.
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Si un vecteur réel pur $\mathbf{v}_\mathrm{r}$ décrit une rotation unique, un vecteur pur $\mathbf{v}$ défini par $\mathbf{v} = \mathbf{v}_\mathrm{r} + \mathbf{v}_\mathrm{d} \varepsilon$ décrit rotation et translation uniques.
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On peut dissocier $\mathbf{v}$ suivant sa composante linéaire $\mathbf{t}$ (translation pure).
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\begin{equation}
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\mathbf{v} = \mathbf{v}_\mathrm{r} + \frac{1}{2} \mathbf{t} \mathbf{v}_\mathrm{r} \varepsilon
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\end{equation} \label{eqn:math12}
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Rotation unitaire : $s_\mathrm{r} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \mathbf{n} + 0 \varepsilon$
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Translation unitaire : $s_\mathrm{t} = 1 + \frac{1}{2} \mathbf{t} \varepsilon$
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Condition d'unité : $|s| = 1 \Leftrightarrow {s_\mathrm{r}}^* s_\mathrm{d} + {s_\mathrm{d}}^* s_\mathrm{r} = 0$
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Composante de translation : $\mathbf{t} = 2 s_\mathrm{d} {s_\mathrm{r}}^*$
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$s$ comme une rotation suivie d'une translation : $s = s_\mathrm{t} s_\mathrm{r}$
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Mouvement d'un état $p$ à un état $p^\prime$ par $s$ : $p^\prime = s p s^*$
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\end{document}
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